Article:

TdC: J. L. Lagrange: Un matemàtic de la Il·lustració - Gerard Gómez

11-05-2015 Josep Lluís Díez

Gerard Gómez Muntané, catedràtic de Matemàtica Aplicada. Universitat de Barcelona.

En aquesta ocasió, Gerard Gómez, el nostre company d'Astrobanyoles, ens ve a parlar d'una de les grans figures de la matemàtica, Joseph Louis Lagrange i de la seva relació amb el Sistema Solar, aspecte que en Gerard ha treballat dins de la seva dedicació professional.

Lagrange va viure a Torí, Berlín i París. Va néixer a Torí el 1636 i va viure-hi fins el 1766, sent professor de matemàtiques i geometria i cofundador de l'actual Accademia delle Scienze de Torí. Es traslladà després a Berlín, cridat per Frederic II el Gran de Prússia, qui deia que «El rei més gran d'Europa ha de tenir el matemàtic més gran d'Europa a la seva Cort». Va ser director de la secció de matemàtiques de l'Acadèmia de Berlín fins que, en morir Frederic II el 1787, va acceptar l'oferta de Lluís XVI i va marxar a París. Va signar un acord amb el govern francès que va ser respectat per les autoritats franceses, malgrat els diferents canvis de règim que va haver en els temps de la Revolució. El 1790 va formar part de la comissió encarregada de l'estandardització de les peses i mesures. Quan la Convenció Republicana va suprimir les Acadèmies el 1793 i científics com Lavoisier, Laplace o Coulomb van ser expulsats, Lagrange va continuar i en va ser nomenat president de l'Acadèmia de Ciències de París. L'any 1795 va esdevenir membre fundador del «Bureau des Longitudes» i el mateix any va ser nomenat professor de l'École Polytechnique, la gran escola superior francesa que encara avui és una referència en la formació dels enginyers. Va morir el 10 d'abril de 1813, un any abans de l'abdicació de Napoleó i està enterrat al Panteó, juntament amb molts altres personatges lligats a la història de França.

Les seves contribucions principals:
- La seva obra, Mecànica Analítica, va representar una refundació de la Mecànica de Newton, convertint-la en una branca de l'Anàlisi.
- Va ser el creador, juntament amb Euler, del càlcul de variacions, amb moltes aplicacions en mecànica i física.
- Teoria d'ones. Va obtenir l'equació general per la propagació d'ones en aigües someres.
- Va fer també grans aportacions a les equacions diferencials i la geometria diferencial.

Les seves aportacions a l'astronomia van ser molt importants, rebent el Premi de l'Acadèmia de Ciències de París dels anys 1764, 1766, 1772, 1774 i 1778. Particularment interessants van ser els treballs referits al moviment de la Lluna (moviment de libració i equació secular). La Lluna era objecte d'estudi dels científics perquè durant gairebé cent anys, entre 1767 i 1850, l'anomenat mètode de la distància lunar va ser el principal mètode utilitzat per els navegants per determinar la longitud. Va tractar també l'anomenat problema dels tres cossos i en el seu assaig de 1772, reconeix que no ha estat capaç de resoldre el problema general, però proposa algunes solucions particulars, en les que els tres cossos ocupen els vèrtex d'un triangle equilàter o el triangle format per els cossos es manté semblant durant el moviment.

Lagrange és conegut també per el descobriment dels que s'anomenen avui dia «punts de Lagrange» que, encara que poden ser deduïts del seu treball, Lagrange no ho va fer. Els punts de Lagrange són, segons la Wiquipèdia, «les cinc posicions de l'espai respecte a dos cossos en que un tercer, afectat només per la gravetat, pot estar estacionari respecte els altres dos». Tenen gran importància en el llançament i en la situació de molts satèl·lits artificials com, per exemple, COBE, Gaia, Herschel o Planck.

Gerard Gómez continua la seva xerrada parlant de l'estabilitat del Sistema Solar. Si segons les lleis de Kepler, el Sistema Solar era estable, la llei de gravitació de Newton deixa la incògnita de saber si serà estable a llar termini. Lagrange i Laplace van estudiar les variacions dels moviments dels cossos obtenint dos tipus de termes, els de període curt (de pocs anys) i els seculars, que encara que amb cada revolució fan variar molt poc les òrbites, al cap de milions d'anys poden haver canviat completament la forma i posició d'aquestes. Avui dia, un estudi de J. Laskar i M. Gastineau conclou que, en uns milions d'anys, el Sistema Solar es torna caòtic, entrecreuant-se les òrbites dels planetes.

L'exposició de Gerard Gómez acaba amb la descripció d'una curiosa corba, la braquistòcrona que, dit en forma planera, és la forma que tindria un tobogan perquè el temps de descens, suposant que no hi ha fregament, sigui mínim. Grans científics com Leibnitz, Newton, Bernouilli i altres, van donar solucions al càlcul de l'equació d'aquesta corba. Els procediments desenvolupats per resoldre el problema de la braquistòcrona van ser el punt de partida d'una nova àrea de la matemàtica, el Càlcul de Variacions, del que Euler i Lagrange van establir els fonaments. Un cas particular de braquistòcrona és la cicloide, corba que fa un punt d'una circumferència que gira sense lliscar sobre una recta (veure wiquipèdia). Gerard Gómez mostra en les darreres imatges com es pot construir en fusta aquesta corba.

Les preguntes dels assistents i un gran aplaudiment posen el punt final a la magnífica xerrada del nostre company.